喵嗚圍塔

兩千年來，古典幾何一直被世人認為是唯一的幾何學，所有現象的形成似乎都與它們相關，不是由直線、平面、三角形構成，就是由圓形、圓錐體、梯形組合而來，它們代表現實世界的抽象化。

但事實上，海岸線不是由直線構成，天上的雲朵也不是圓形，山巒更不是圓錐形，還有滿布隕石凹凸不平的月球表面、樹枝的分歧等自然界中的各種形狀，種種不規則形狀要如何用幾何學來說明及解釋？

是呀！宇宙間存在的崎嶇不平、坑坑巴巴、曲折、破裂及各種糾結混亂的形狀，有的和直線類似，卻不是直線；有的很像圓錐形，仔細瞧，又不是真的如此，那麼這些形狀代表的究竟是一個什麼樣的幾何學？

一九七五年某個冬日的午後，法裔美國數學奇才曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）創造了碎形（fractal）這個字。碎形是曼德布洛特畢生所從事的研究，他始終相信宇宙間一定有描述不規則形狀的幾何學，絕對不是只有歐幾里德式的長度、深度、厚度，可是要如何用一種「一粒沙窺見塵世」的本質描繪這些宇宙現象？

他在拉丁字典中，找到一個殘破（frangere）的動詞衍生出來的形容詞殘碎的（fractus），而英語中也有一個破碎（fracture）和破片（fraction）的字義，並彙整出「碎形」一詞。

「碎形」一出，原先難以利用古典幾何學描述的不規則形狀，終於有了自己的歸屬。碎形揭露的是自然幾何學，不規則中蘊藏某種規則的秩序，卻和尺寸無關，就算放大或縮小，其中的複雜程度並未因此減弱。碎形試圖解釋過去科學忽略的非線性現象與大自然複雜結構，更重要的是碎形觀念已延伸到不同的領域，如生理學、經濟學、社會學、氣象學，以及天文學中的星體分布。

以生理學而言，在人體中，碎形結構處處可見。大動脈會分歧成細動脈，然後又是連續的分歧、岔開，再分歧，直到血管細到血球僅能排成單行通過。這種難以用言語清楚描述的結構，是基於生理需求所形成的，血管必須使用碎形維度將形體壓縮在有限空間中，而所有細胞必須以不超過兩、三個細胞的近距離貼近血管，血管和血液占有的空間也不超過身體的 5％。

至於人類正常的肺臟，肺泡跟空氣接觸的面積攤開來有一座網球場那麼大，而它必須容納在胸腔中。所以能夠發展出如此細微的結構，和碎形不無關係，運用簡單的變形規則，就能輕易地將猶如迷宮的氣管及廣大的肺泡表面積設計到有限的空間中。


碎形重要概念

碎形是一種新維度觀念，和以往尺度、維度、結構有相當大的不同，那麼碎形究竟包含哪些重要概念？

碎形是非線性動力過程的結果，大自然的外貌及結構皆是經由非線性動力過程而產生的結果，也就是說，在非線性動力現象中才能發現碎形的蹤跡。比如說，在水的流動或是在晶體成長的現象中，可能發現碎形。

碎形具有自相似性的結構，一個東西經過不斷放大後，始終都具有自相似性的結構，不論該結構有多複雜、多粗糙、多摺疊，都存在某種相似性的結構。

碎形是分數維度，維度（dimension）是用來測量物體的量化標準，與度量的尺度有關。一維是線條概念，就像縫衣服的線一樣；二維是平面概念，就像街道地圖，有長有寬；三維是空間概念，就像經常說的三度空間，有經度、緯度與高度的概念。一維、二維、三維度都是整數維度，很容易運用到日常生活上，複雜程度不高。

但碎形維度是有分數的，就像無窮擴張的三分之四的卡區雪花曲線( Von Koch curvel )，維度 = log4/log3 = 1.2618。卡區雪花曲線是瑞典數學家范卡區（Helge von Koch, 1870-1924）於一九○四年首創的，這條既不是筆直又不是圓形的連結曲線，看起來很像雪花圖案，其維度就不是整數，是介於一及二的維度。



碎形具有自我模仿特質，自我模仿是一種很容易辨認的特質，係指在愈來愈小的尺度中，重覆製造細節，並且以某種固定方式縮小細節，造成某種循環的複雜現象。比如說，一枝樹幹初次分成兩枝，每一根分枝看起來跟整棵樹很像。就某種意義而言，一棵樹是由兩個、三個跟自己一樣的複本製作而成。這兩個或三個也許不是很完美，但複製的效果就是一棵樹，透過數學公式簡單的運算，再交由電腦繪製，可以很快地繪製完成一棵樹的「生長」過程。

碎形和尺度不具相關性，無論尺寸是大是小，在一定可觀察的區域中，碎形會有一致性的碎形維度，也就是說它們之間的複雜性、粗糙度不會因為大小而有所改變。比如說，花椰菜是由小花組成，而小花又是由很多小花組成，小花的小花又是由很多小花組成……，第一組的小花比小花的小花大了許多，但它們的結構都差不多。


碎形數列

來擺放在旁邊(新抽出來的擺上頭)，依此規則，直到將原卡片完全抽出擺在旁邊同ㄧ疊上，你由這疊卡片上頭第一張往下找，第幾張才會出現數字1。很妙的是，卡片總數與"第幾張"和碎形數列相關，卡片總數等於碎形數列的項次，而該項就是"第幾張"。

例如:一套卡片，每張正面分別印上數字1,2,3,4,5，按照規則，過程圖解如下，所以由上往下找到第3張就是1，而碎形數列的第5項是3。




碎形藝術

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